압력용기

학습목표

• 원통형 압력용기의 두 응력을 자유물체도에서 직접 유도할 수 있다
• 두 응력의 비가 2:1인 이유를 면적으로 설명할 수 있다
• 얇은 벽 가정이 깨지면 이 식이 안전측인지 위험측인지 판단할 수 있다

1. 얇은 벽 가정

벽이 반지름에 비해 충분히 얇으면, 안쪽 면과 바깥쪽 면의 응력 차이를 무시하고 벽 전체에 같은 응력이 걸린다고 본다. 보통 $r/t \ge 10$ 을 기준으로 삼는다.

이 가정 하나로 문제가 통째로 단순해진다. 두께 방향 분포를 풀 필요 없이 힘의 평형만으로 답이 나온다.

2. 원주응력

원통을 길이 방향으로 반 갈라 길이 $L$ 만큼 떼어낸다.

평형에서

$$\sigma_1 = \frac{P r}{t}$$

3. 길이방향 응력

이번엔 원통을 가로로 자른다.

평형에서

$$\sigma_2 = \frac{P r}{2t}$$

4. 왜 정확히 2배인가

받는 면적을 버티는 면적으로 나눠 보면 이유가 그대로 보인다.

길이 방향은 원주 전체가 힘을 나눠 받는데, 원주 방향은 잘린 벽 두 줄만 버틴다. 버티는 쪽이 넓으면 응력이 작다.

그래서 압력용기가 터질 때는 언제나 원주응력이 먼저 한계에 닿는다. 결과적으로 길이 방향으로 쭉 찢어진다. 소시지를 삶으면 세로로 갈라지는 것과 같은 이유다.

$r/t$ 를 바꿔가며 두 응력이 어떻게 벌어지는지, 그리고 이 식이 실제 형상에서 얼마나 맞는지는 #실험_압력용기_응력비교 에서 확인할 수 있다.

5. 구형 압력용기

구는 어느 방향으로 잘라도 단면이 같다. 그래서 방향과 무관하게 응력이 하나만 나오고, 이것을 막응력이라 한다.

$$P \pi r^2 = \sigma \cdot 2 \pi r t \quad \Rightarrow \quad \sigma = \frac{P r}{2t}$$

원통의 길이방향 응력과 같은 값이다. 뒤집어 말하면 같은 압력에서 구의 최대 응력은 원통의 절반이다.

같은 재료로 같은 압력을 담을 때 구는 두께를 절반만 써도 된다는 뜻이고, 고압 가스 저장구가 둥근 이유가 여기 있다. 다만 구는 제작이 어렵고 배관을 붙이기 까다로워서, 실제 설계에서는 이 이득과 제작비를 저울질하게 된다.

6. 주응력으로 보기

$\sigma_1$ 과 $\sigma_2$ 는 서로 수직이고, 두 면 모두 전단응력이 0이다. 반지름 방향은 얇은 벽 가정에서 무시하므로 0으로 둔다.

주응력은 전단응력이 0이 되는 면에서 작용하는 최대 또는 최소의 수직응력이므로, 위에서 구한 값이 곧 주응력이다.

$$\sigma_1 = \frac{Pr}{t} \qquad \sigma_2 = \frac{Pr}{2t} \qquad \sigma_3 \approx 0$$

응력 변환을 따로 거칠 필요가 없다는 뜻이다. 이 세 값을 그대로 파손 이론에 넣으면 안전계수가 나온다.